Al deducir el algoritmo de eliminación gaussiana, descubrimos que cuando uno de los elementos del pivote
es cero, se requiere un intercambio de renglones. Este intercambio de renglones presenta la forma 
, donde p es el menor entero mayor que k con 
. Si se requiere reducir el error de redondeo, a menudo hay que realizar intercambios de renglones aun cuando los elementos del pivote no sean cero .Si 
es de magnitud pequeña en comparación con 
, el multiplicador
tendrá una magnitud mucho mayor que 1.
Los errores de redondeo introducidos en el cálculo de uno de los términos 
se multiplicarán por 
cuando se calcule 
, lo cual puede incrementar el error inicial.
Asimismo , cuando se hace la substitución hacia atrás con
con un valor pequeño de 
, cualquier error del numerador puede aumentar extraordinariamente por la división entre 
En los ejemplos que siguen ilustraré el caso.
El sistema lineal
tiene la solución exacta 
En este sistema realizaremos la eliminación gaussiana
mediante la aritmética de redondeo a cuatro dígitos.
El primer elemento del pivote es un número pequeño 
y su multiplicador asociado
se redondea al número grande 1764. Al realizar 
y el redondeo adecuado, obtenemos
En vez de los valores precisos,
La disparidad de las magnitudes de 
a ocasionado unerror de redondeo pero este todavía no se
ha propagado. La sustitución hacia atrás produce
que es una aproximación cercana al valor real,
Pero debido al pivote pequeño 
contiene el pequeño error de 0.001 multiplicado por
Lo anterior arruina la aproximación al valor real 
En este ejemplo observamos los problemas que pueden surgir cuando cuando el elemento pivote 
es pequeño en comparación con los elementos 
para 
. Para evitar este problema empleamos el pivoteo seleccionando un elemento mayor 
como pivote e intercambiamos los renglones k-ésimo y p-ésimo y, en caso necesario,
intercambiamos después las columnas k-ésima y q-ésima. La estratégia mas sencilla consiste en escoger el elemento en la misma columna que está debajo de la diagonal y que tiene el máximo valor absoluto; es decir determinamos la más pequeña
tal que 
y efectuamos 
Reconsideremos el sistema
El procedimiento de pivoteo que acabamos de describir sirve primero para obtener
efectuamos la operación 
para obtener el sistema
El multiplicador para este sistema es
y la operación 
reduce el sistema a
Las respuestas de cuatro dígitos que resultan de la sustitución hacia atrás son los valores correctos
A esta técnica se le llama pivoteo parcial ,o pivoteo de columna máxima , y se describe detalladamente en el algoritmo que viene en el siguiente apartado.
El sistema lineal
es el mismo de los ejemplos anteriores, excepto que todos los elementos de la primera ecuación han sido multiplicados por
. Con la aritmética de 4 dígitos, el procedimiento descrito en el algoritmo de Pivoteo Parcial produciría los mismos resultados que se obtuvieron en el ejemplo base . El valor máximo de la primera columna es 30.00 y el multiplicador
da origen la sistema
que tiene las mismas soluciones inexactas que el ejemplo 1: 
El pivoteo parcial escalado denominado también pivoteo de escalado de columna es el adecuado para el sistema del ejemplo anterior. Este algoritmo coloca el elemento en le lugar del pivote más grande en relación con los elementos de su renglón. El primer paso del procedimiento consiste en definir, para cada renglón, un factor de escala 
por medio de:
Si para alguna i tenemos 
=0, entonces el sistema no tiene solución única, porque todos los elementos del i-ésimo renglón son cero. Suponiendo que no sea así, el intercambio adecuado de renglones para poner ceros en la primera columna se determina seleccionando el menor entero p con
y realizando 
. El cambio de escala garantiza que el mayor elemento de cada renglón tiene una magnitud relativa de 1 antes de realizar la comparación para el intercambio de renglones.
De manera análoga, antes de eliminar la variable 
mediante las operaciones 
elegimos el menor entero 
tal que
y realizamos el intercambio de renglones 
si 
. Los factores del cambio de escala se 
se calculan solo una vez, al inicio del procedimiento y también deben intercambiarse al realizar los intercambios de renglones
.
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